ISO БПИ – БГПА - БНТУ

Университет

Одно окно

Услуги

Обучение иностранных граждан

Работодателям

Вакансии

УНИВЕРСИТЕТ

Новости - Конференция МИДО

Сидорик В.В. ПРИКЛАДНЫЕ ПРОГРАММЫ КАК СОСТАВНАЯ ЧАСТЬ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ ПО ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНЫМ И ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИМ ДИСЦИПЛИНАМ

 

УДК 37.091.64:004

 

ПРИКЛАДНЫЕ ПРОГРАММЫ КАК СОСТАВНАЯ ЧАСТЬ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ ПО ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНЫМ И ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИМ ДИСЦИПЛИНАМ

Сидорик В.В.

Республиканский институт инновационных технологий Белорусского национального технического университета, г. Минск, Республика Беларусь, Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript

На примере реальной задачи об остывании чашки кофе рассматривается проблема акти-визации познавательной деятельности обучаемых на всех уровнях системы образования. Предлагается внедрение в учебный процесс реальных задач, реализуемых с использованием пакетов компьютерной математики.

Существует определенная проблема создания дополнительной мотивации обучаемых при изучении дисциплин, требующих математической подготовки (и не только базовой). Проблема реальная, так как обучаемые хотят решать реальные задачи, что на младших кур-сах даже технических вузов не всегда представляется возможным. Обучаемые на младших курсах не имеют соответствующей математической подготовки. Выход можно искать в применении прикладных программ, разрабатываемых на основе пакетов компьютерной ма-тематики, таких как Matlab и Mathcad. Рассмотрим практическую реализацию данной кон-цепции на примере задачи об остывании чашки кофе.

Формулировка проблемы.

Посетитель зашел в кафе и заказал чашку кофе. Температура в помещении 18 С. Посети-тель считает комфортной температуру кофе 50 С. Требуется определить время, необходимое для остывания свежеприготовленного кофе до комфортной для посетителя температуры.

Физическая модель.

Природа остывания кофе и перенос тепла от чашки с кофе окружающему пространству в общем случае включает в себя механизмы конвекции, излучения, испарения и теплопро-водности. Каждый из этих механизмов имеет свою физическую природу и может быть представлен различными физическими, а значит и математическими моделями.

Явление теплопроводности обусловлено градиентом температур и может играть суще-ственную роль, если чашка поставлена на поверхность из материала с большим коэффици-ентом теплопроводности (например, металл). Однако пренебречь механизмом теплопровод-ности можно, предполагая, что поверхность стола и окружающий воздух имеют значительно меньшее значение коэффициента теплопроводности.

Другой механизм остывания чашки за счет электромагнитного излучения не требует наличия в окружающем пространстве вещества. Излучаемый тепловой поток пропорциона-лен четвертой степени температуры. При этом светлые (и блестящие) тела не только мало поглощают, но и мало излучают. Для кофе в светлой чашке механизм излучения менее эф-фективен, чем в темной.

Механизм испарения обусловлен явлениями на поверхности, площадь поверхности пропорциональна квадрату радиуса поверхности чашки. В тоже время объем чашки, опреде-ляющий запас внутренней энергии, а значит и температуру, пропорционален кубу линейно-го размера чашки. Исходя из этого механизмом испарения, по-видимому, можно пренебречь.

При конвекции нагретые вблизи поверхности чашки молекулы воздуха уносятся на большие расстояния. Эффективность такого механизма зависит от внешних условий, например, работающего в комнате вентилятора, ускоряющего процесс конвекции.

Математическая модель.

Оптимальная температура приготовления кофе 90 С, а температура окружающей среды для бытовых помещений 18-24 С. Разность температур невелика, поэтому в качестве мате-матической модели можно взять уравнение закона Ньютона, который гласит, что при малых разностях температур тело охлаждается со скоростью

. (1)

Здесь Т – текущая температура чашки, Тs – температура окружающей среды, - ско-рость потери тепловой энергии чашкой за время .

Этот закон в какой-то степени учитывает различные механизмы потери энергии чаш-кой. Коэффициент остывания r зависит от площади поверхности чашки и кофе, тепловых свойств чашки и кофе, механизма тепловых потерь.

Температура кофе характеризует запас внутренней энергии чашки с кофе, поэтому уравнение закона Ньютона остывания может быть представлено в виде

. (2)

Это уравнение является математической моделью задачи об остывании чашки с кофе.

Параметры модели.

Температура чашки с кофе в начальный момент времени, температура окружающей сре-ды и коэффициент теплопередачи r.

Определение коэффициента теплопередачи и алгоритмизация математической мо-дели.

Решение задачи предполагает решение уравнения Ньютона при заданных начальных условиях. В качестве начальных условий выступают температура чашки с кофе в начальный момент времени, температура окружающей среды и коэффициент теплопередачи k.

Кофе готовят при температуре 90 С и разливают в чашки. Свежеприготовленный кофе наливают в чашку. Температура чашки равна комнатной температуре, поэтому кофе не-сколько остывает.

Наиболее слабым звеном математической модели является величина коэффициента теп-лопередачи. Хозяин кафе для прогноза времени остывания проводил эксперименты с анало-гичной керамической чашкой. Температура кофе регистрировалась с точностью 0.1 градуса с интервалом 1 мин. Температура окружающей среды 22.0 С Данные приведены в таблице 1.

Время, мин

Т, С

Время, мин

Т, С

0

83.0

8.0

64.7

1.0

77.7

9.0

63.4

2.0

75.1

10.0

62.1

3.0

73.0

11.0

61.0

4.0

71.1

12.0

59.9

5.0

69.4

13.0

58.7

6.0

67.8

14.0

57.8

7.0

66.4

15.0

56.6

Поскольку вид функции температуры нам неизвестен для вычисления значения коэф-фициента теплопередачи воспользуемся следующим алгоритмом. Варьируя значения коэф-фициента теплопередачи в интервале от 0.001 до 0.090 с шагом 0.001 на каждом шаге с ис-пользованием процедуры решения дифференциального уравнения (2) будем вычислять от-клонения теоретической кривой от экспериментальных значений. Минимуму отклонения соответствует оптимальное значение коэффициента теплопередачи. Это значение и следует использовать для дальнейших вычислений. Процедура вычислений представлена в про-граммном коде coffe_ main.m. Правая часть дифференциального уравнения вычисляется в процедуре coffe.m.

 

% coffe.m

function dTdt = coffe(t, T)

global T0 k

dTdt = -k*(T-T0);

% это конец процедуры coffe.m

% coffe_main.m

clc

t=[0:15];

T=[83 77.7 75.1 73 71.1 69.4 67.8 66.4 64.7 63.4 62.1 61 59.9 58.7 57.8 56.6];

plot(t,T,'o')

global Ts k

Ts = 22;

T0 = T(1);

kstart = 0.01;

kend = 0.07;

dk = 0.0005;

for k = kstart: dk: kend

dt = t;

[ti Ti] = ode45('coffe', dt, T0);

di = sum(abs(T - Ti'));

if k == k1

dmin = di;

kmin = k;

elseif di < dmin

dmin = di;

kmin = k;

end

end

k = kmin;

[ti Ti] = ode45('coffe', dt, T0);

text(11,77, strcat('k = ', num2str(kmin)))

hold on

grid on

plot(ti,Ti,'+')

plot(ti,Ti,'linewidth',2)

title('temperature & time')

xlabel('time, min')

ylabel('temperature, C')

% Ts=18;

% [ti Ti] = ode45('coffe', [0 20], T0);

% plot(ti, Ti, 'r', 'linewidth',2)

Результат выполнения программы представлен на графике. Показаны эксперименталь-ные "о" и теоретические значения "+". На графике также напечатано оптимальное значение коэффициента теплопередачи.

Рисунок 1 — Зависимость температуры кофе от времени в интервале до 15 С

Для ответа на поставленный вопрос изменим начальные условия ( ) и увели-чим время интегрирования до 20 минут. Результаты представлены на графике. Цвет кривой – красный. Для этого снимите комментарий с последних строк программного кода процеду-ры coffe_main.m.

Рисунок 2 — Зависимость температуры кофе от времени в интервале до 20 С

По графику можно определить, что кофе остывает до температуры 60 С приблизительно за 10 мин. А до 50 С?

Программа исследований.

1. Другой посетитель в это же время заказал кофе со сливками. Исследуйте вид кривой остывания при условии, что добавление порции сливок уменьшает тем-пературу кофе на 5 градусов.

2. Исследуйте и второй случай, когда сливки добавляют в кофе через 3 минуты после его приготовления. Для этого вам необходимо внести изменения в про-грамму. Сопоставьте с первым случаем. Если вы торопитесь и пьете кофе со сливками, будете ли вы добавлять сливки сразу или обождете несколько минут?

3. Предположим, что вам налили кофе в аналогичную, но более толстую чашку. Температура кофе сразу же упала на 10 градусов. Постройте кривую остывания. Из какой чашки вы предпочтете пить кофе.

4. Предположим, что другой посетитель в жаркое летнее время зашел выпить ча-шечку кофе. Температура в помещении 30 С. Постройте и проведите анализ кривой остывания.

5. Найдите время, необходимое для того, чтобы разность температур между темпе-ратурой кофе и комнатной составило от начальной. Это время назы-вается временем остывания или временем релаксации. Проанализируйте, зави-сит ли время релаксации от начальной температуры? От температуры окружа-ющей среды?

6. Предположим, что вам заменили чашку на чашку с лучшими теплоизоляцион-ными свойствами. Как в этом случае изменится коэффициент теплопередачи? Как это повлияет на динамику остывания кофе?

7. Для изучения точности метода воспользуйтесь точным решением уравнения . Постройте график и сопоставьте точное и приближенное решения.

8. Интересно, а знаете ли при какой температуре вы предпочитаете пить кофе? Не удивляйтесь, если окажется, что это не та температура, которую предпочитает наш странный посетитель (Подсказка: комфортная температура кофе не должна превышать 75 С).

Список использованной литературы

1. Сидорик В.В., Джилавдари И.З. Физика в компьютерных моделях. Учеб.-метод. пособ. для студ. техн. вузов. — Мн.:НПОО «ПИОН», 1999, — 248 с.

2. Хекхаузен, Х. Психология мотивации достижения / Х. Хекхаузен ; пер. с англ., ред., вступ. ст. Ю.Е. Зайцевой. – СПб. : Речь, 2001. – 240 с.

3. Стрелкова, И.Б. Мотивация достижения в системе формирования профессионализма преподавателей колледжей/вузов / И.Б. Стрелкова // Aplikované vědecké novinky – 2012 : мateriály VIII mezinárodní vědecko-praktická konference, Praha, 27 červenců–05 srpna 2012 roku. – Díl 6. Pedagogika / šéfredaktor Z. Černák ; náměstek hlavního redaktor A. Pelicánová ; zodpovědný za vydání J. Štefko. – Praha : Publishing House «Education and Science», 2012. – S. 22–27.

4. Оценивание: образовательные возможности : сб. науч.-метод. ст. / редкол.: Т.И. Краснова (отв. ред.) [и др.] ; под общ. ред. М.А. Гусаковского. – Минск : БГУ, 2006. – 258 с. – (Современные технологии университетского образования / Центр проблем развития образования БГУ ; кн. 4).

5. Кодекс Республики Беларусь об образовании [Электронный ресурс] : от 13 янв. 2011 г., № 243-З : принят Палатой представителей 2 дек. 2010 г. ; одобрен Советом Респ. 22 дек. 2010 г. // Национальный правовой Интернет-портал Респ. Беларусь : Компьютерный банк данных проектов законов Респ. Беларусь. – Режим доступа : http://www.pravo.by/webnpa/text.asp?RN=Hk1100243. – Дата доступа : 11.04.2012